Lời giải:Vì $x^2+y^2+z^2=2$ nên:

$P=\frac{x^2+y^2+z^2}{x^2+y^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{y^2+z^2}+\frac{x^2+y^2+z^2}{z^2+x^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$=3+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{y^2}{x^2+z^2}+\frac{z^2}{x^2+y^2}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

$\leq 3+\frac{x^2}{2yz}+\frac{y^2}{2xz}+\frac{z^2}{2xy}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}$

(theo BĐT AM-GM)

$=3+\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}-\frac{x^3+y^3+z^3}{2xyz}=3$

Vậy $P_{\max}=3$

Dấu "=" xảy ra khi $x=y=z=\sqrt{\frac{2}{3}}$

Áp dụng bất đẳng thức Bunhia dạng phân thức cho 3 số ta có:

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{x+z}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2\left(x+y+z\right)}=\dfrac{x+y+z}{2}=\dfrac{2}{2}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow\begin{matrix}\dfrac{x}{y+z}=\dfrac{y}{z+x}=\dfrac{z}{x+y}\\x,y,z>0;x+y+z=2\end{matrix}\)

\(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Áp dụng BĐT Svac-xơ cho 3 số dương có :

\(\dfrac{x^2}{y+z}+\dfrac{y^2}{z+x}+\dfrac{z^2}{x+y}\ge\dfrac{\left(x+y+z\right)^2}{2.\left(x+y+z\right)}=1\)

Dấu "=" xảy ra \(\Leftrightarrow x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Vậy Min biểu thức cho là 1 khi \(x=y=z=\dfrac{2}{3}\)

Lời giải:

Sửa: $x^2\geq y^2+z^2$
Áp dụng BĐT Cauchy-Schwarz:

$P\geq \frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{7x^2}{2}.\frac{4}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{14x^2}{y^2+z^2}+2007$

$=\frac{y^2+z^2}{x^2}+\frac{x^2}{y^2+z^2}+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$

$\geq 2+\frac{13x^2}{y^2+z^2}+2007$ (áp dụng BĐT Cô-si)

$\geq 2+13+2007=2022$ (do $x^2\geq y^2+z^2$)

Vậy $P_{\min}=2022$

Giá trị lớn nhất là 2

2

Ta có \(S=\dfrac{x}{x+1}+\dfrac{y}{y+1}+\dfrac{z}{z+1}\)\(=\dfrac{x+1-1}{x+1}+\dfrac{y+1-1}{y+1}+\dfrac{z+1-1}{z+1}\)\(=1-\dfrac{1}{x+1}+1-\dfrac{1}{y+1}+1-\dfrac{1}{z+1}\)\(=3-\left(\dfrac{1}{x+1}+\dfrac{1}{y+1}+\dfrac{1}{z+1}\right)\)

Ta chứng minh BĐT phụ \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge\dfrac{9}{a+b+c}\) với \(a,b,c>0\)

Thật vậy, áp dụng BĐT Cô-si cho 3 số dương \(a,b,c\), ta có \(a+b+c\ge3\sqrt[3]{abc}\)

Ta cũng có \(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\ge3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}\)

Như vậy \(\left(a+b+c\right)\left(\dfrac{1}{a}+\dfrac{1}{b}+\dfrac{1}{c}\right)\ge3\sqrt[3]{abc}.3\sqrt[3]{\dfrac{1}{abc}}=9\)

Vậy BĐT phụ được chứng minh. Từ đó \(S\le3-\dfrac{9}{x+1+y+1+z+1}=3-\dfrac{9}{\left(x+y+z\right)+3}\)

Lại có \(x+y+z\le6\) \(\Rightarrow S\le3-\dfrac{9}{6+3}=2\)

Dấu "=" xảy ra khi \(x=y=z=2\)

Vậy GTLN của S là 2 khi \(x=y=z=2\)

Giá trị nhỏ nhất là 3 căn 7 trên 2

\(\dfrac{3\sqrt{17}}{2}\)